設計預測市場

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17 天前

AI 生成摘要

這篇文章探討了預測市場的設計，比較了中央限額訂單簿（CLOB）與做市商在提供流動性及確定公平股票價格方面所扮演的角色。

前提條件：對預測市場的基本概念有初步了解

所以你想運行一個預測市場。你需要一種讓參與者交易份額（shares）的方式。你有什麼選擇？

CLOB 與市場

如果你要從零開始建立一個預測市場，你可能會想到中央限價訂單簿 (Central Limit Order Book, CLOB)。交易者發布「買入」和「賣出」訂單，說明他們願意買賣的內容及價格，而你將這些訂單記錄在你的帳本中。

Alice 發布：「我願以每股 $0.60 買入 20 股 YES」
Bob 發布：「我願以每股 $0.65 賣出 25 股 YES」
Carol 發布：「我願以每股 $0.61 買入 10 股 YES」

當有人想要交易，且不想等待別人來履行他們的訂單時，你會將他們與當前最優的報價進行撮合。這非常直觀。

這種系統直接出現在 Hypixel Skyblock 和其他 MMO 遊戲中。Bazaar（市集）讓你可以發布訂單並等待，或者立即履行現有訂單。有「附魔鐵」要賣嗎？你可以掛單 540 金幣並等待買家，或者以 470 金幣履行最高買單來立即售出。

最高買價（bid）與最低賣價（ask）之間的差距被稱為買賣價差 (bid-ask spread)。

做市商登場

CLOB 運作良好，但有一個問題：它需要有人積極地在兩側發布訂單。如果沒人掛單，市場就無法運作。當交易者不活躍時，價差也會變得非常大，導致交易成本高昂。

這就是做市商 (market makers) 發揮作用的地方。做市商持續發布買單和賣單，確保市場上總有人可以進行交易。

做市商透過維持買賣價之間的差距來獲利。例如：

他們以 $0.60 買入 YES 份額
以 $0.65 賣出 YES 份額
每當一個人向他們買入 YES，而另一個人向他們賣出 YES 時，他們就賺取了 $0.05 的差價。

這被稱為跨越價差 (crossing the spread)。做市商為市場提供流動性，並透過價差獲得補償。在傳統金融中，像 Citadel Securities 這樣的公司靠著這樣做賺取數十億美元。在 Hypixel Skyblock 中，這種策略被稱為「Bazaar 翻炒 (bazaar flipping)」。

份額定價

做市商如何為其份額定價？在現有市場中，他們只需查看現有的價格圖表即可決定價格，但在預測市場中這並不太可行。因此，我們需要某種方法來確定份額的公平價格。

為了簡化，讓我們忽略獲利。我們假設有人向我們的做市商（我們稱他為 Duncan）支付固定費用來提供這項服務，而他在一個完全有效的市場中運作，買賣價差為 0。

Duncan 持有一些 YES 和 NO 份額的庫存，人們可以與他交易。Duncan 該如何定價？審視這個問題，我們可以看到一些關鍵約束：

價格總和應為 $1：如果當市場結果為 YES 時，一股 YES 支付 $1；而當結果為 NO 時，一股 NO 支付 $1，那麼一股 YES 和一股 NO 的價格加起來必須正好是 $1，因為市場最終只能結算為這兩種選項之一。
價格等於機率：如果 YES 份額價值 $0.70，這意味著市場認為結果為 YES 的機率是 70%，因為這就是期望價值的運作方式。這是預測市場運作的核心機制，即使你還不知道市場實現的細節，你也應該已經知道這一點。

創建新份額

Duncan 需要有發行份額的能力。否則，他會用完份額，無法再進行交易。（不，他不能只根據供應量反向提高份額價格，因為他同時銷售 YES 和 NO 份額，這會違反「價格總和必須為 $1」的約束。）

幸運的是，發行新份額非常容易。由於 YES 和 NO 的總和為 1，Duncan 每從交易者那裡收到一美元，他就可以鑄造一對 YES 和 NO 份額。當市場結算時，他將向獲勝份額的持有者支付 $1，完全覆蓋了他的義務。

由此我們可以推斷，任何有效的公式必須具備某些特性：購買 YES 必須提高 P(YES)；機率必須取決於庫存比例（當 Duncan 持有大量 NO 時，機率很高，因為這意味著他賣出了大量 YES）；且 YES 份額應始終低於 $1（除非市場處於 100% 狀態），反之亦然。由於 0 和 1 不是機率，這種情況永遠不應該發生。

一個自然的機率公式

考慮到這些約束，你可能會想到這個公式，用 Duncan 的庫存來推導機率（以及 YES 和 NO 的價格）：

$$P(YES) = \frac{n}{y+n}$$

其中 $y$ 是 Duncan 的 YES 庫存，$n$ 是 Duncan 的 NO 庫存。

當 $y=n$ 時（例如市場初始化時），機率為 50%。
如果 Duncan 的 YES 份額完全耗盡，機率為 1，這意味著你無法再透過購買 YES 獲利，且你可以免費購買 NO。
如果 Duncan 的 NO 份額完全耗盡，機率為 0。

這個公式似乎滿足了我們所有的要求，而且相當直觀。既然 P(YES) 就是 YES 的價格，我們現在知道如何定價了。

離散份額的問題

如果 Duncan 有 50 股 YES 和 50 股 NO，機率是 50%，所以每股成本為 $0.50。

你給 Duncan $1，告訴他你想買 YES。

YES 成本為 $0.50，所以 $1 可以買 2 股 YES。
他鑄造了 1 股 YES + 1 股 NO（庫存變為：51 YES, 51 NO）。
Duncan 給你 2 股 YES 作為交換（庫存變為：49 YES, 51 NO）。
新機率：$51 / (49+51) = 51%$。

另一個例子。Duncan 有 100 股 YES 和 50 股 NO：

機率：$50 / 150 = 33.33%$。
每股 YES 價格：$0.33。
你的 $1 買到 3 股 YES。
他鑄造了價值 $1 的份額（庫存變為：101 YES, 51 NO）。
他還給你 3 股 YES：（庫存變為：98 YES, 51 NO）。
新機率：$51 / 149 = 34.23%$。

你可能已經注意到問題了：Duncan 沒有考慮到「購買行為本身」如何影響價格。

當你一次購買多股時，你是以初始價格買入全部，但你買的每一股都應該比前一股更貴！你在大宗購買中獲得了折扣！

Duncan 可以透過一次只賣一股，甚至一次只賣極小部分的份額，並在每次無限小的銷售後調整價格來解決這個問題。但這在計算上很昂貴，且假設份額是離散單位而非無限可分的。

為了得到一個連續方程式，我們需要使用微積分並解一個微分方程。

做市商的微積分

(警告：包含微分方程)

讓我們將問題形式化。假設 Duncan 開始時有 $y_s$ 股 YES 和 $n_s$ 股 NO。你存入 $m$ 美元並向 Duncan 購買 YES。

交易後：

Duncan 鑄造了 $m$ 股每種類型的新份額。
NO 庫存：$n = n_s + m$
YES 庫存：$y = y_s + m - sold$

其中 "sold" 是 Duncan 給予交易者的 YES 份額數量。（在此背景下，$s$ 代表 "starting" 初始值。）

任何時間點的市場機率為：

$$P = \frac{n}{y+n}$$

代入我們的庫存公式：

$$P = \frac{n_s + m}{(y_s + m - sold) + (n_s + m)} = \frac{n_s + m}{y_s + 2m + n_s - sold}$$

既然我們遵循價格等於機率的約束，Duncan 賣給你份額的速率是由當前機率決定的。

交易者以速率 $dm$ 存入資金，並以速率 $d(sold)$ 接收份額。每邊際份額的價格是 $dm / d(sold)$。既然我們希望價格等於機率，我們得到：

$$\frac{dm}{d(sold)} = \frac{n_s + m}{y_s + 2m + n_s - sold}$$

由於我們以金錢作為輸入，我們取倒數：

$$\frac{d(sold)}{dm} = \frac{y_s + 2m + n_s - sold}{n_s + m}$$

這是我們的初始微分方程。我鼓勵你嘗試自己解開它，但如果你不懂微積分或卡住了，解法如下：

$$\frac{d(sold)}{dm} = \frac{y_s + 2m + n_s}{n_s + m} - \frac{sold}{n_s + m}$$

$$\frac{sold}{n_s + m} + \frac{d(sold)}{dm} = \frac{y_s + 2m + n_s}{n_s + m}$$

兩邊同乘以 $(n_s + m)$：

$$sold + \frac{d(sold)}{dm} \cdot (n_s + m) = y_s + 2m + n_s$$

$$\int (sold + \frac{d(sold)}{dm} \cdot (n_s + m)) \cdot dm = \int (y_s + 2m + n_s) \cdot dm$$

觀察到 $\frac{d}{dm} sold = \frac{d(sold)}{dm}$ 且 $\frac{d}{dm} (n_s + m) = 1$。根據乘法法則（Product Rule）：

$$sold \cdot (n_s + m) = m y_s + m^2 + m n_s + C$$

$$sold = \frac{m(y_s + m + n_s) + C}{n_s + m}$$

$$sold = m + \frac{m y_s + C}{n_s + m}$$

$sold(0) = 0$，因為如果你不花錢，就拿不到份額。如果代入 $m=0, sold=0$ 並解 $C$，得到 $C=0$，所以我們可以去掉那一項。

$$sold = m + \frac{m y_s}{n_s + m}$$

既然 $n$ 就是 $n_s + m$，而 $y$ 是 $y_s + m - sold$，我們得到：

$$y = y_s + m - (m + \frac{m y_s}{n_s + m})$$

$$y = y_s - \frac{m y_s}{n_s + m}$$

你可能會注意到 $n_s + m$ 出現在 $y$ 的分母中，且等於 $n$。如果你將 $y$ 和 $n$ 相乘：

$$y \cdot n = (y_s - \frac{m y_s}{n_s + m}) \cdot (n_s + m)$$
$$y \cdot n = y_s(n_s + m) - m y_s = y_s n_s + m y_s - m y_s$$

$$y \cdot n = y_s n_s$$

無論交易如何進行，Duncan 的 YES 和 NO 份額的乘積保持不變！^()

恆定乘積做市商

因此，我們發現了基本的不變量：

$$y \cdot n = k$$

其中 $k$ 是由 Duncan 初始庫存決定的常數。因為 YES * NO 始終為常數，我們稱之為恆定乘積做市商 (Constant Product Market Maker, CPMM)。

所以 Duncan 知道了這一點，確定了一個份額定價算法：

從交易者那裡接收資金
鑄造 YES 和 NO 份額
給出足夠數量的 YES 份額（或 NO 份額，取決於交易者想要什麼），以維持恆定乘積 $y \cdot n = k$

這是一個實際操作的例子：

Duncan 開始時以 $50 的流動性初始化市場。（初始庫存：50 YES, 50 NO）
他算出他的恆定乘積，這必須保持不變。$k = 50 \cdot 50 = 2500$
你在 YES 上投注 $50。Duncan 用這筆錢鑄造更多份額。（庫存：100 YES, 100 NO）
他現在需要支付足夠的 YES 份額，使他再次達到恆定乘積。$y \cdot n = k$，解 $y$。
$y = k / n$
代入 NO 和 $k$。$y = 2500 / 100 = 25$
他原本有 100 股 YES，現在需要剩下 25 股 YES，所以他給你 75 股 YES 以換取你的 $50。（庫存：25 YES, 100 NO）
新機率為 $n / (y+n) = 100 / (25+100) = 80%$。

同時，如果交易者想賣出份額，過程同樣簡單：他將份額加入庫存，計算出他需要放棄多少對 YES + NO 份額才能達到恆定乘積，然後將這些份額對兌換成現金給交易者，並將份額從流通中移除。或者，更優雅的做法是，交易者只需購買相反的份額，然後將成對的份額交給 Duncan 換取現金。

（注意，由於 Duncan 的庫存與市場機率呈反比，這意味著當市場結果出乎意料時，Duncan 會從交易者那裡賺到很多錢；而市場對正確結果越有信心，他損失的初始流動性就越多。）

事實上，這個過程可以完全自動化，形成自動做市商 (Automated Market Maker, AMM)。這是 Uniswap 以及許多預測市場協議的基礎。

結論

從預測市場的基本約束（價格總和為 1，價格等於機率）出發，我們推導出了一個唯一的解決方案。我們並非從一堆選項中隨意選擇了 CPMM。它是從我們設定的要求中必然產生的。

當你用正確的約束條件將問題形式化時，通常只有一個正確答案。獨立的研究人員在面對相似的問題和約束時，會匯聚到相同的解決方案。當牛頓和萊布尼茲發明微積分時，他們得到相似的結果並非因為他們分享了工作，或因為他們在研究同一個問題（他們當時在非常不同的領域工作）。他們得到相似結果是因為他們在研究一類具有相同底層結構的問題，即使這些相似之處起初並不明顯。

市場本身就在進行貝氏更新（Bayesian updating）——在預期中，隨著更多人交易，機率會根據交易者的累積知識趨向於真實的可能性。我們的定價機制必須尊重這種貝氏結構。恆定乘積公式並非隨意設定；它是當你在連續條件下正確地將「每邊際份額應以當前機率定價」形式化後得到的結果。雖然這不是關於現實領土的經驗事實，但機率法則依然在設計空間中刻畫出了一個獨特的形狀，而你的地圖最好能與之匹配。^()

（這在預測市場的背景下尤為明顯（預測市場在某種意義上是市場的最純粹形式，將信息的交易與聚合與其他一切分離開來），但它也適用於更廣泛的市場和 AMM，並被廣泛應用於 DeFi 和加密貨幣領域。）

[blocked][1]：如果你不懂微積分，這是最重要的部分。
[blocked][2]：好吧，我這裡完全誇大了我的論點，這幾段很大程度上是在開玩笑。如果你選擇匹配這些要求的不同機率函數，或者從不同的案例切入預測市場設計，這個問題還有其他解決方案，其中許多都有各自的優缺點。Hanson 曾明確寫過關於「恆定函數做市商」的文章。只是這一個非常直觀，且對於純粹的機率性 YES/NO 市場具有非常有用的特性，這就是我寫它的原因。

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